横浜の新人タクシードライバー

私は横浜の新人タクシードライバー。お客様を求めて今日も街をひた走る....
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タクシーの料金

タクシーの料金は初乗り710円でその後90円づつ上がります(東京23区や京浜地区等の場合)。
料金は710円、800円、890円、980円、1,070円、1,160円、1,250円……と上がっていきます。新人の頃、980円を890円と見間違えてお釣りを渡して何度も損をしました。
そしてある日、ふと気が付いたのです。料金は同じ数字が表示されていることが多いことを…
890円と980円、1,340円と1,430円、2,240円と2420円、3,140円と3,410円等々。
調べてみると、料金の各桁の数字を足すと8または17または26になります。さらに足した値の各桁の数字を足すと8になります。皆さん知っていました?

では、数学的に検証してみましょう(笑)
タクシーの料金は前述した通り初乗り710円、その後90円づつ加算です。
料金をPとすると以下の式になります。

P=710+90×n  (n=0,1,2,3,4…)
ここで、1の位は常に0であり各桁の合計には寄与しない為、両辺を10で割ります。そしてP/10=pとします。
p=71+9×n
p=72-1+9×n
p=9×8+9×n-1
p=9×(n+8)-1・・・(1)
また、料金Pの千の位の数字をa、百の位の数字をb、十の位の数字をcとすると(一の位は常に0)
p=a×100+b×10+cとなる・・・(2)
(1)(2)より9×(n+8)-1=100×a+10×b+1×cとなります。
9×(n+8)-1=(9×11+1)×a+(9×1+1)×b+c
9×(n+8)-1=9×11a+a+9×b+b+c
9×(n+8)99×a+9×b+a+b+c+1
ここで   の部分は9の倍数なのでa+b+c+1も9の倍数でなければ成り立ちません。
よって、タクシー料金の各桁の合計a+b+cは9の倍数から1を引いたものになるため、
8、17、26、、、となります。
この数値をp’として十の位の数字をa',一の位の数字をb'とすると
p’=a’×10+b’
ここで両辺に1を加える。
p'+1=a'×10+b'+1
p'+ 19×a’+a’+b'+1
上記と同様に   の部分は9の倍数なのでa’+b’+1は9の倍数でありa'+b'は9の倍数から1を引いたものとなるため、8、17、26、、、となる。
ただし、タクシー料金は9,000円以上で長距離割引があるので9,000円未満で計算すると8で収束する。

35年ぶりぐらいでやってみた算数なので合っているかな?
間違っていたらコメントください。お願いします。
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